BspNr: J0010
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Themenbereich
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Näherungsverfahren zur Nullstellenberechnung (Regula Falsi) |
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Ziele
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vorhandene Ausarbeitungen
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- Probleme, die bei der näherungsweisen Nullstellenberechnung auftreten können, erkennen
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TI-92 (J0010a) (119 KB) |
| Analoge Aufgabenstellungen - Übungsbeispiele |
J0011 |
| Lehrplanbezug (Österreich): |
7. Klasse |
| Quelle: Karl Weinstich |
Regula Falsi
Die folgende Abbildung beschreibt das Näherungsverfahren "regula falsi" zur Berechnung von Nullstellen:
Angabe und Fragen:
- Beschreibe die prinzipielle Vorgangsweise dieser Methode zur Nullstellenberechnung. Welche Voraussetzungen muss die Funktion erfüllen, damit diese Methode angewendet werden kann?
- Leite eine Formel her, aus der sich das x3 berechnen lässt, wenn man f(x), x1 und x2 kennt.
- Die folgende Tabelle zeigt die Berechnung einer Nullstelle der Funktion f(x) = x3 - 3x + 1 mit Hilfe der Regula falsi auf 2 Dezimalen genau. Ermittle die anderen Nullstellen auf analoge Weise.
(Bemerkung: Um das Ergebnis auf n Stellen genau anzugeben, ist so lange zu rechnen, bis sich die n+1-te Dezimalstelle nicht mehr ändert; dann ist auf n Dezimalstellen zu runden)
Suche nach einem Intervall in dem ein Vorzeichenwechsel stattfindet:
-> es gibt eine Nullstelle zwischen 1 und 2 |
-> Nullstelle: N(1,53 | 0)
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- Erstelle ein Ablaufdiagramm (bzw. eine verbale Beschreibung), das die Berechnung einer Nullstelle mit Hilfe der Regula falsi beschreibt, wobei die Krümmung der Funktion zu berücksichtigen ist.
- Erstelle ein Programm für den TI-92, das die Nullstellen einer Funktion nach der Regula falsi berechnet. Dem Programm sollen die Intervallgrenzen innerhalb welcher sich die Nullstelle befindet und die gewünschte Genauigkeit übergeben werden können. Die Funktion soll nicht dem Programm übergeben werden, sondern vor dem Start des Programms auf die Variable f gespeichert werden.
- Berechne mit Hilfe deines Programms die Nullstellen der Funktionen:
-
f
1
(
x
)=
x
3
−3x+1
-
f
2
(
x
)=
x
11
+4
-
f
3
(
x
)=
8
x
3
−10
x
2
+6x−1
1000
Lass dir dabei die Näherungswerte für die Nullstelle in jedem Schleifendurchlauf anzeigen. Was passiert, wenn man Startwerte verwendet, die von der Nullstelle weiter entfernt liegen? Wurde von deinem Programm das Ergebnis immer mit der gewünschten Genauigkeit berechnet?
© ACDCA, 2002 - Beispielsammlung, Projekt "Technologie im Mathematikunterricht"
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