Übungen zur Ableitung

Bei diesen Übungen bestimmst du die Steigung der Tangente an eine Funktion f(x) an einer allgemeinen Stelle x. Dazu berechnest du die Ableitung f'(x) mit Hilfe des Differentialquotienten.

Übung 1)

a) Bestimme die Ableitung der Funktion f(x) = x2 - 2 händisch mit Hilfe des Differentialquotienten in deinem Heft (Tipp: siehe Übung 1c zum Differentialquotienten). Vergleiche dein Ergebnis mit der Funktion f'(x) im rechten Fenster.

b) Du siehst rechts die Funktion f(x) = x2 - 2 und ihre Ableitung f'(x). Außerdem ist f'(x0) an der Stelle x0 eingezeichnet, die du verändern kannst.
  1. Wo ist die Steigung von f(x) positiv?
  2. Wo ist die Steigung von f(x) negativ?
  3. Wo ist die Steigung von f(x) gleich Null?
c) Kannst du einen Zusammenhang zwischen dem Tiefpunkt der Funktion und der Ableitung entdecken?
© M. Hohenwarter, 2005, erstellt mit GeoGebra

Übung 2a)

Hier wird die Steigung der Tangente an allgemein an der Stelle x berechnet, also die Ableitung f'(x) bestimmt. Vollziehe alle Schritte dieses Beispiels nach, indem du auf den rechten Pfeil klickst.

Definition der Ableitung: ▼
in f einsetzen: ▼
gemeinsamer Nenner: ▼
Zähler zusammenfassen: ▼
Zähler vereinfachen: ▼
Doppelbruch auflösen: ▼
durch h kürzen: ▼
Grenzwertberechnung: ▼
Nenner vereinfachen: ▼
Lösung: Die Steigung der Tangente an an der Stelle x ist  .
Oder anders gesagt: Die Ableitung von ist  .

Übung 2b)

Du siehst rechts die Funktion f(x) und ihre Ableitung f'(x). Außerdem ist f'(x0) an der Stelle x0 eingezeichnet, die du verändern kannst.
  • Wo ist die Steigung von f(x) positiv?
  • Wo ist die Steigung von f(x) negativ?
  • Wo ist die Steigung von f(x)  undefiniert?

© M. Hohenwarter, 2005, erstellt mit GeoGebra

Übung 3)

Bestimme die Ableitung der Funktion  in deinem Heft. Für welche Stellen ist die Steigung der Tangente an f(x) nicht definiert?
Lösung: