Lösungen zu ausgewählten Aufgaben

Teil A: Vorwissen

Aufgabe 5

Teil B: Funktionen

Aufgabe 7
Die Kosten für SMS hängen von der Gesprächsdauer/vom Tarif ab.
Die Anzahl der Badegäste im Freibad hängt von der Temperatur/ von den Eintrittspreisen ab.
Der Flächeninhalt eines Quadrates hängt von der Seitenlänge ab.
Das Volumen des Würfels hängt von der Kantenlänge ab.

Aufgabe 11
a) f: N → N mit f(n) = 2n   oder   n 2n
b) u: [1, 10] → R+ mit u(s) = 4s  oder   s 4s
c) g: R- → R+ mit g(x) = |x|  oder  x |x|

Aufgabe 12
a) Die Funktion h mit den natürlichen Zahlen als Definitionsmenge und den reellen Zahlen als Zielmenge ordnet jeder Zahl x ihre Quadratwurzel zu.
b) Die Funktion A mit den positiven reellen Zahlen als Definitionsmenge und den reellen Zahlen als Zielmenge ordnet jedem Radius eines Kreises den Flächeninhalt des Kreises zu.
c) Die Funktion f von R nach R bildet jede Zahl x auf ihre Gegenzahl ab.

Teil C: Grundtypen

Aufgabe 38
a) d = 80; k = 4
b) f(x) = 4x + 80
c) f(x) = 5x + 60

Aufgabe 39
a) a = 1,04 und c = 80
b) f(x)=80*1,04^x
c) f(x) = 60*1,05^x

Aufgabe 40
 	Angebot A	Angebot B	
nach 1 Monat	84,00	83,20	
nach 2 Monaten	88,00	86,53	
nach 3 Monaten	92,00	89,99	
nach 4 Monaten	96,00	93,59	
nach 5 Monaten	100,00	97,33	
nach 6 Monaten	104,00	101,23	
nach 7 Monaten	108,00	105,27	
nach 8 Monaten	112,00	109,49	
nach 9 Monaten	116,00	113,86	
nach 10 Monaten	120,00	118,42	
nach 11 Monaten	124,00	123,16	
nach 12 Monaten	128,00	128,08	
Summe	1272,00	1250,15	

Im ersten Jahr ist Angebot A besser.

Aufgabe 41
nach … Monaten	Angebot A	Angebot B	
1	84,00	83,20	
2	88,00	86,53	
3	92,00	89,99	
4	96,00	93,59	
5	100,00	97,33	
6	104,00	101,23	
7	108,00	105,27	
8	112,00	109,49	
9	116,00	113,86	
10	120,00	118,42	
11	124,00	123,16	
12	128,00	128,08	
13	129,00	133,21	
14	130,00	138,53	
15	131,00	144,08	
16	132,00	149,84	
17	133,00	155,83	
18	134,00	162,07	
19	135,00	168,55	
20	136,00	175,29	
21	137,00	182,30	
22	138,00	189,59	
23	139,00	197,18	
24	140,00	205,06	
25	141,00	213,27	
26	142,00	221,80	
27	143,00	230,67	
28	144,00	239,90	
29	145,00	249,49	
30	146,00	259,47	
31	147,00	269,85	
32	148,00	280,64	
33	149,00	291,87	
34	150,00	303,55	
35	151,00	315,69	
36	152,00	328,31	
37	153,00	341,45	
38	154,00	355,11	
39	155,00	369,31	
40	156,00	384,08	
41	157,00	399,44	
42	158,00	415,42	
43	159,00	432,04	
44	160,00	449,32	
45	161,00	467,29	
46	162,00	485,99	
47	163,00	505,43	
48	163,00	525,64	

Angebot B ist langfristig besser.

Aufgabe 42
(1) Kapitalwachstum bei Anlage mit Zinseszins => exponentiell
(2) Handytarif mit Grundgebühr und sekundengenauer Abrechnung => linear
(3) Fortgesetzte Verdopplung eines Wetteinsatzes => exponentiell
(4) Gesamtkosten einer Produktionsmaschine mit Anschaffungskosten und laufenden Material- und Wartungskosten => kann nicht entschieden werden

Lernzielkontrolle
1) a) R(t) = 15 + 0,05t
        
Zeit t	Kosten R	
0	15,00	
1	15,05	
2	15,10	
3	15,15	
4	15,20	
5	15,25	
6	15,30	

  b) Kein indirektes Verhältnis, da mit der Zeit auch die Kosten zunehmen.
      Kein direktes Verhältnis, da die Gerade nicht durch den Ursprung geht, die Konstante d nicht null ist und dem k-Fachen von t nicht das k-Fache von R entspricht.

2) a) Steigung, Anstieg
    b) durch den Punkt (0|d)
    c) wenn k > 0
    d) wenn k < 0
    e) eine zur x-Achse parallele Gerade 

3) Eine Funktion ist eine eindeutige Zuordnung.
    eine Zuordnungsvorschrift, die jedem Argument eindeutig einen Funktionswert zuordnet
    Definitionsmenge
    Zielmenge

4) (4) ist direkt proportional.
    (1) ist indirekt proportional.
    (2) und (4) wachsen linear.
    (3) wächst exponentiell.

Teil D: Anwendungen

Aufgabe 47
Anm.: Kostenfunktion  f(x) = 0.01 x³ - 9 x² + 3000 x + 100000
a) 
f(200) = 420 000
f(400) = 500 000
f(600) = 820 000
f(800) = 1 860 000
f(1000) = 4 100 000
Die Kosten nehmen mit höheren Stückzahlen zu.
b) Auch wenn nichts produziert wird, gibt es Fixkosten: 100 000 Euro.

Aufgabe 48
c) d = Fixkosten, k = variable Kosten pro Stück

Aufgabe 49
a) d = 0; k ist positiv
b) 4000 Euro
c) bei x = 64,9 (also bei etwa 65 Stück) und bei x = 990,7 (also bei etwa 991 Stück); Kosten und Erlös sind gleich groß;, kein Verlust/kein Gewinn

Aufgabe 50
a) Die Stellen der Schnittpunkte von Kosten- und Erlösfunktion entsprechen den Nullstellen der Gewinnfunktion.
b) Break-even-Point: ab hier wird Gewinn gemacht. Schnittpunkt zwischen Kosten- und Erlösfunktion, ab dem der Erlös größer als die Kosten ist.
c) Gewinnzone von 65 (aufrunden!) bis 990 (abrunden!) Stück
d) mindestens 65 Stück

Aufgabe 51
Höherer Preis => bei geringerer Stückzahl bereits Gewinn
Gewinnzone ist breiter
größerer Gewinn
Produkt wird weniger gekauft, da es teurer ist.

Aufgabe 52
Senkung der Fixkosten => größerer Gewinn, Gewinnzone breiter

Aufgabe 53
K(x) = 100 000 + 2x
E(x) = 6x

K(x) = E(x) => x = 25 000 => Der Break-even-Point liegt bei 25 000 Stück.

Aufgabe 54
Preis	100	150	200	250	300	350	400	450	500	550	600	650	700	
Menge	19000	18000	17000	16000	15000	14000	13000	12000	11000	10000	9000	8000	7000	

Aufgabe 55
a) je höher der Preis desto geringer die Nachfrage
b) bei Prestige-Produkten, je teurer desto exklusiver

Aufgabe 56
a) (0|21 000)     Nachfrage, wenn das Produkt nichts kostet
    (1050|0)        Preis, bei dem niemand mehr das Produkt kauft
b) Preis und Nachfrage können nur positive Werte annehmen.

Aufgabe 57
Sättigungsmenge bei  21 000 Stück; Höchstpreis bei 1050,- €.

Aufgabe 58
n(300) = 15 000;  n(350) = 14 000

Aufgabe 59
Der Höchstpreis, bei welchem die Nachfrage gleich null ist, liegt bei 1050,-€.
Die Sättigungsmenge, also jene Menge, die bei einem Preis von 0,- € nachgefragt wird, beträgt 21 000 Stück.

Aufgabe 60
a) Abnahme um 250 Packungen
b) 
Preis (Euro)	1	2	3	4	5	6	
Nachfrage (Stück)	1750	1500	1250	1000	750	500	
c)
      
d) n(p) = 2000 – 250p, D = [0,8], Zielmenge = R+0
e) Sättigungsmenge  n(0) = 2000  
    => Es werden maximal 2000 Stück nachgefragt.
    Höchstpreis            n(p) = 0 => p = 8
    =>  Der Höchstpreis, bei dem niemand mehr das Produkt kauft, beträgt 8 Euro.